第二部分   非选择题

二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分 )

不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。

15 ．设矩阵 A = ，则 A ^T A =         .

16 ．设 A 、 B 均为 3 阶方阵，且 | A |=3 ， | B |=-2 ，则 | AB ^T |=       .

17 ．已知向量 =(3,2,4,5), =( -1,5,1, -2), 且 + ξ = ，则向量 =       .

18 ．设 ₁, ₂ 是 n (n ≥ 3) 元齐次线性方程组 Ax= 0 的基础解系，则秩 (A)=        .

19 ．设向量 ₁= （ 1,2, -1 ） , ₂=(3,2,1), 则内积 ( ₁, ₂)=       .

20 ．设矩阵 A = ，则二次型 x ^T Ax =        .

21 ．设 3 阶方阵 A 的秩为 2 ，矩阵

P = ，                   Q =

若矩阵 B=PAQ ，则秩 (B)=        .

22 ．已知 是方阵 A 的一个特征值，则 |A|=         .

23 ．设 A = ，则 A ⁿ =        .

24 ．设二次型 f (x_1,x₂,x₃)=x^TAx 经正交变换化为标准形 ，则 A 的最小的特征值是       .

三、计算题 ( 本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分 )

25 ．计算行列式 的值 .

26 ．已知矩阵 A = ，秩 (A)=2 ，求 k 的值 .

27 ．试求矩阵方程 X= 中的未知矩阵 X .

28 ．求向量组 ₁=(2, -1,0,3), ₂=(1,2,5, -1), ₃=(7, -1,5,8) 的秩，并说明这个向量组是线性相关还是线性无关 .

29 ．当 a 为值何时，方程组   有解？在有解时，求出它的通解（用导出组的基础解系表出） .

30 ．已知向量 ₁=(1,1,1)^T, ₂=(1, -2,1)^T 正交，求一个 3 维列向量 ₃ ，使得 ₃ 与 ₁ 、 ₂ 都正交 .

31 ．试用正交换将二次型 f (x₁,x₂)= 化为标准形，并写出标准形及所用的正交变换 .

四、证明题 ( 本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分 )

32 ．设向量组 ₁, ₂, ₃ 线性无关，且

                     ₁= ₁ - ₂ - ₃ ，   ₂= ₁+ ₂ - ₃ ，   ₃= ₁ - ₂+ ₃ ，

试证明向量组 ₁, ₂, ₃ 线性无关 .

33 ．设 A 为 n 阶矩阵， 、 是 A 的两个不同的特征值， x ₁ 、 x ₂ 依次是属于 、 的特征向量，试证明 x ₁ +x₂ 不是 A 的特征向量 .