一、填空题 ( 每小题 2 分，共 36 分 )

1. 行列式 =_______.

2. 设 A= ， B= 且 2(A+X)=3(X -B) 则 X=_______.

3. 设 A 是三阶方阵，且 det(A)= -1, 则 det( -2A)=_______.

4. 设 A= ，则 A 的伴随矩阵 A^*=_______.

5. 设 A= ，则 A ^-1=_______.

6. 设向量α ₁ =(1,0,0), α ₂ =(1,1,0), α ₃ =(1,0,1), β =(5, -2,4), 则β可由α ₁ , α ₂ , α ₃ 线性表示的表达式为β =_______.

7. 当 t=_______ 时，向量组α ₁ =(1,2,3) ，α ₂ =(2,2,2) ，α ₃ =(3,0,t) 线性相关 .

8. 等价的线性无关向量组所含向量个数 _______.

9. 设λ =_______ 时，方程组   有非零解 .

10. 方程组 的基础解系为 _______.

11. 设 A ， B ， C 是 n 阶可逆方阵，则 (A^*B^TC ^-1) ^-1=_______.

12. 设三阶方阵 A 的特征值分别为 1 ， - 1 ， 3 ，则 det(A ^-1)=_______.

13. 设 A 为实对称矩阵，α ₁ =(1,1,3)^T 与α ₂ =(3,2,a)^T 分别是属于 A 的相异特征值λ ₁ 与λ ₂ 的特征向量，则 a=_______.

14. n 阶方阵可对角化的充要条件是 _______.

15. 设三阶方阵 A 有特征值 1 ， - 3 ， - 2 ，则 A^T 的特征值为 _______.

16. 设α ₁ =(1,1,0) ，α ₂ =(1,0,1) ，则与α ₁ , α ₂ 正交的非零单位向量为        .

17. 设实对称矩阵 A= 是二次型 f(x₁,x₂,x₃) 的矩阵，则二次型 f(x₁,x₂,x₃) 为 _______.

18. 设实二次型 f(x₁,x₂,x₃)= 则当 a 的取值为 _______ 时，二次型 f(x₁,x₂,x₃) 是正定的 .

二、计算题 ( 共 54 分 )

1. (5 分 ) 计算行列式 D= .

2. (5 分 ) 设 A= ，试求 A ^-1.

3. (5 分 ) 设 A= ，求矩阵 A 的秩 .

4. (6 分 ) 设方阵 A= ，试求 A 的特征值及特征向量 .

5. (5 分 ) 设三阶方阵 A 的三个特征值为 1 ， - 1 ， 2 ，矩阵 B=A³ -2A+E ，试求 B 的特征值， B² 的特征值 .

6. (8 分 ) 设向量组α ₁ =(1,1,2,3), α ₂ =(1, -1,1,1), α ₃