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课程代码：
02198
试卷说明：
A
T
表示矩阵
A
的转置矩阵，
E
是单位矩阵，
|A|
表示方阵
A
的行列式。
第一部分
选择题
(
共
28
分
)
一、
单项选择题（本大题共
14
小题，每小题
2
分，共
28
分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.
设行列式
=m
，
=n
，则行列式
等于（
）
A. m+n
B.
-(m+n)
C. n
-m
D. m
-n
2.
设矩阵
A
=
，则
A
-
1
等于（
）
A.
B.
C.
D.
3.
设矩阵
A
=
，
A
*
是
A
的伴随矩阵，则
A
*
中位于（
1
，
2
）的元素是（
）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.
设
A
是方阵，如有矩阵关系式
AB
=AC
，则必有（
）
A. A =0
B. B
C
时
A
=0
C. A
0
时
B
=C
D. |A|
0
时
B
=C
5.
已知
3
×
4
矩阵
A
的行向量组线性无关，则秩（
A
T
）等于（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.
设两个向量组α
1
，α
2
，…，α
s
和β
1
，β
2
，…，β
s
均线性相关，则（
）
A.
有不全为
0
的数λ
1
，λ
2
，…，λ
s
使λ
1
α
1
+
λ
2
α
2
+
…
+
λ
s
α
s
=0
和λ
1
β
1
+
λ
2
β
2
+
…λ
s
β
s
=0
B.
有不全为
0
的数λ
1
，λ
2
，…，λ
s
使λ
1
（α
1
+
β
1
）
+
λ
2
（α
2
+
β
2
）
+
…
+
λ
s
（α
s
+
β
s
）
=0
C.
有不全为
0
的数λ
1
，λ
2
，…，λ
s
使λ
1
（α
1
-
β
1
）
+
λ
2
（α
2
-
β
2
）
+
…
+
λ
s
（α
s
-
β
s
）
=0
D.
有不全为
0
的数λ
1
，λ
2
，…，λ
s
和不全为
0
的数μ
1
，μ
2
，…，μ
s
使λ
1
α
1
+
λ
2
α
2
+
…
+
λ
s
α
s
=0
和μ
1
β
1
+
μ
2
β
2
+
…
+
μ
s
β
s
=0
7.
设矩阵
A
的秩为
r
，则
A
中（
）
A.
所有
r
-1
阶子式都不为
0
B.
所有
r
-1
阶子式全为
0
C.
至少有一个
r
阶子式不等于
0
D.
所有
r
阶子式都不为
0
8.
设
Ax=b
是一非齐次线性方程组，η
1
，η
2
是其任意
2
个解，则下列结论错误的是（
）
A.
η
1
+
η
2
是
Ax=0
的一个解
B.
η
1
+
η
2
是
Ax=b
的一个解
C.
η
1
-
η
2
是
Ax=0
的一个解
D.2
η
1
-
η
2
是
Ax=b
的一个解
9.
设
n
阶方阵
A
不可逆，则必有（
）
A.
秩
(A)<n
B.
秩
(A)=n
-1
C.A=0
D.
方程组
Ax=0
只有零解
10.
设
A
是一个
n(
≥
3)
阶方阵，下列陈述中正确的是（
）
A.
如存在数λ和向量α使
A
α
=
λα，则α是
A
的属于特征值λ的特征向量
B.
如存在数λ和非零向量α，使
(
λ
E
-
A
)
α
=0
，则λ是
A
的特征值
C.A
的
2
个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.
如λ
1
，λ
2
，λ
3
是
A
的
3
个互不相同的特征值，α
1
，α
2
，α
3
依次是
A
的属于λ
1
，λ
2
，λ
3
的特征向量，则α
1
，α
2
，α
3
有可能线性相关
11.
设λ
0
是矩阵
A
的特征方程的
3
重根，
A
的属于λ
0
的线性无关的特征向量的个数为
k
，则必有（
）
A. k
≤
3
B. k<3
C. k=3
D. k>3
12.
设
A
是正交矩阵，则下列结论错误的是（
）
A.|A|2
必为
1
B.|A|
必为
1
C.A
-1=AT
D.A
的行（列）向量组是正交单位向量组
13.
设
A
是实对称矩阵，
C
是实可逆矩阵，
B
=CTAC.
则（
）
A.A
与
B
相似
B. A
与
B
不等价
C. A
与
B
有相同的特征值
D. A
与
B
合同
14.
下列矩阵中是正定矩阵的为（
）
A.
B.
C.
D.
第二部分
非选择题（共
72
分）
二、填空题（本大题共
10
小题，每小题
2
分，共
20
分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
15.
.
16.
设
A
=
，
B
=
.
则
A
+2B=
.
17.
设
A
=(aij)3
×
3
，
|A|=2
，
A
ij
表示
|A|
中元素
aij
的代数余子式（
i,j=1,2,3
）
,
则
(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=
.
18.
设向量（
2
，
-3
，
5
）与向量（
-4
，
6
，
a
）线性相关，则
a=
.
19.
设
A
是
3
×
4
矩阵，其秩为
3
，若η
1
，η
2
为非齐次线性方程组
Ax=b
的
2
个不同的解，则它的通解为
.
20.
设
A
是
m
×
n
矩阵，
A
的秩为
r(<n)
，则齐次线性方程组
Ax=0
的一个基础解系中含有解的个数为
.
21.
设向量α、β的长度依次为
2
和
3
，则向量α
+
β
与α
-
β
的内积（α
+
β
，α
-
β
）
=
.
22.
设
3
阶矩阵
A
的行列式
|A|=8
，已知
A
有
2
个特征值
-
1
和
4
，则另一特征值为
.
23.
设矩阵
A
=
，已知α
=
是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为
.
24.
设实二次型
f(x1,x2,x3,x4,x5)
的秩为
4
，正惯性指数为
3
，则其规范形为
.
三、计算题（本大题共
7
小题，每小题
6
分，共
42
分）
25.
设
A
=
，
B
=
.
求（
1
）
AB
T
；（
2
）
|4A|.
26.
试计算行列式
.
27.
设矩阵
A
=
，求矩阵
B
使其满足矩阵方程
AB
=A+2B.
28.
给定向量组α
1
=
，α
2
=
，α
3
=
，α
4
=
.
试判断α
4
是否为α
1
，α
2
，α
3
的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.
设矩阵
A
=
.
求：（
1
）秩（
A
）；
（
2
）
A
的列向量组的一个最大线性无关组。
30.
设矩阵
A=
的全部特征值为
1
，
1
和
-
8.
求正交矩阵
T
和对角矩阵
D
，使
T
-
1
AT
=D.
31.
试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=
，
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共
2
小题，每小题
5
分，共
10
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