高等数学（一）试题

课程代码： 00020

一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1. 下列区间中 , 函数 f (x)= ln (5x+1) 为有界的区间是（　　　）

A.(-1 ， )                                                   B.(- ,5)

C.(0, )                                                       D.( ,+ )

2. 设函数 g (x) 在 x = a 连续而 f (x) = (x-a)g(x), 则 (a) = （　　　）

A. ０                                                            B. (a)

C.f (a)                                                         D.g (a)

3. 设函数 f (x) 定义在开区间Ｉ上， I, 且点 (x₀, f (x₀) ) 是曲线 y= f (x) 的拐点 , 则必有（　　　）

A. 在点 (x_0,f (x₀)) 两侧 , 曲线 y=f (x) 均为凹弧或均为凸弧 .

B. 当 x<x₀ 时 , 曲线 y=f (x) 是凹弧 ( 或凸弧 ),

则 x>x₀ 时 , 曲线 y=f (x) 是凸弧 ( 或凹弧 ).

C.x<x₀ 时 ,f (x)<f(x₀)   而 x>x₀ 时 ,f(x)>f(x₀).

D.x<x₀ 时 ,f (x)>f(x₀)   而 x>x₀ 时 ,f(x)<f(x₀).

4. 设某商品的需求函数为 D(P)=475-10P-P², 则当 P = 5 时的需求价格弹性为（　　　）

A.0.25                                                         B.-0.25

C.100                                                           D.-100

5. 无穷限积分 xe^-xdx = （　　　）

A.-1                                                             B.1

C.-                                                           D.

二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6. 函数 y = 的定义域是 ___________.

7. 极限 =___________.

8. 极限 =___________.

9. 已知某商品的成本函数为 C(q )=20 -10q+q²( 万元 ), 则 q =15  时的边际成本为 ___________.

10. 抛物线 y = x² 上点 (2,4) 处的切线方程是 ___________.

11. 不定积分 ___________.

12. 定积分 =___________.

13. 微分方程 2 xydx+ dy = 0 的通解是 ___________.

14. 设 z = arctan (xy), 则 =___________.

15. xydy=___________.

三、计算题 ( 一 ) （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）

16. 设 y = xarctanx-ln ，求 (1)

17. 求极限

18. 求不定积分

19. 计算定积分 I= ( sinx-sin³x)dx

20. 设 z = z (x,y) 是由方程 x²-z²+ln =0 确定的函数 , 求 dz

四、计算题 ( 二 ) （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）

21. 设 y = x­^2x, 求

22. 计算定积分 I=

23. 计算二重积分 I = , 其中 D 是由直线 x = 2,y = x 和双曲线 xy = 1 围城的区域 .

五、应用题（本大题共 9 分）

24. 求内接于半径为 R 的半圆而周长最大的矩形的各边边长 .

六、证明题（本大题共 5 分）

25 ． 证明：当函数 y = f (x) 在点  x₀ 可微，则 f ( x ) 一定在点 x₀ 可导 .